Diciembre

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES DE UNA FUNCIÓN

El incremento de una función es un valor exacto y real, el diferencial es un valor aproximado.

Definición matemática de incremento:

La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento Δx de una variable x es el cambio  en x cuando esta crece o decrece  desde un valor X=X1, hasta un valor X=X2 y se escribe :

Si y=f(x), entonces:

Definición matemática de diferencial:

Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h.

Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) · h. Por tanto,

                                              dy = df(x) = f'(x) · h

Aplicaciones de los incrementos y diferenciales en la resolución de problemas:

La altura de un cono circular recto es de 30 cm, el radio de la base es de 10 cm. La altura del cono se aumenta en 3 mm, el radio del cono se disminuye en 1 mm.

• a) Calcule el incremento total del volumen del cono.
• b) Calcule el diferencial total del volumen del cono.

a)

b)

DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE FUNCIONES COMPUESTAS

Ejemplo:

DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

1) Por diferenciación:

2) Por jacobianos:

3) Por derivación implícita:

DERIVADA DIRECCIONAL

Es aquella que permite calcular la razón de cambio de una función de 2 o más variables en cualquier dirección.

La derivada direccional de f  en (Xo, Yo) en la dirección u=(a, b) es:

Propiedades:

Gradiente: